数学A「確率」解き方の型 15選
確率は、場合の数の考え方に「同様に確からしい」という視点を足した単元です。反復試行・余事象・条件付き確率がよく出ます。
「少なくとも」「k回以上」といった言葉が出たら余事象を疑うのが定番です。全体を何通りと数えるかを最初に決めておくと、分母と分子のずれを防げます。
このページでは、確率でよく使う解き方を 15 個の「型」に分け、それぞれ「使う問題・考え方・手順・例題・間違えやすい点・似た型との違い」の順に解説します。例題と解説はすべて当サイトのオリジナルです。
1. さいころの目の確率の型
使う問題
「大小 2 個のサイコロ」「目の和が…になる確率」。
考え方
確率 ＝ 条件に合う場合の数 ÷ 全体の場合の数。2 個なら全体は 36 通り。
手順
- 全事象の数を求める（さいころ 2 個なら 6×6＝36 通り）
- 条件に合う場合を表または書き出しで数える
- 確率＝条件に合う場合÷全体（約分する）
例題
問題 大小 2 個のサイコロを投げるとき、目の和が 8 になる確率を求めよ。
- 全体 36 通り
- 和が 8：(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) の 5 通り
- 5/36
答え 5/36
間違えやすい点
- (1,2) と (2,1) を同じと数える（さいころは区別する）。
似た型との違い
「3 個のサイコロの確率の型」は全体が 216 通りになる。
2. 硬貨の確率の型
使う問題
「硬貨を何枚か投げる」「表が k 枚出る確率」。
考え方
硬貨を区別して、すべての表裏の組（2ⁿ 通り）から条件に合うものを数える。
手順
- n 枚の硬貨の表裏は全部で 2ⁿ 通り
- 表がちょうど k 枚になるのは nCk 通り
- 確率＝nCk/2ⁿ
例題
問題 硬貨 3 枚を投げるとき、ちょうど 2 枚が表になる確率を求めよ。
- 全体 2³ = 8 通り
- 2 枚が表：3C2 = 3 通り
- 3/8
答え 3/8
間違えやすい点
- 2ⁿ を n² などと計算する、nCk を忘れる。
似た型との違い
反復試行の型は、同じ試行を何回も繰り返す（公式 nCk p^k q^(n−k)）。
3. 玉の同時取り出しの型 ★入試頻出
使う問題
「袋から同時に○個取り出す」。色の異なる玉が入っている。
考え方
玉を全部区別して、同時に取り出す組合せ nCr の数を分母にする。色ごとの個数の組合せを分子にする。
手順
- 全体は組合せ：nCr 通り
- 赤 k 個・白 (r−k) 個＝(赤の数 C k)×(白の数 C (r−k))
- 確率＝条件に合う場合÷全体
例題
問題 赤玉 3 個と白玉 2 個の袋から同時に 2 個取り出すとき、2 個とも赤である確率を求めよ。
- 全体 5C2 = 10 通り
- 赤 2 個：3C2 = 3 通り
- 3/10
答え 3/10
間違えやすい点
- 順列と組合せを混ぜる。
似た型との違い
順に取り出す場合は確率の積、同時なら組合せ。同時に取る方が楽。
4. 条件付き確率の型
使う問題
「A が起こったという条件のもとで B が起こる確率」。「～のうち」「～とわかっているとき」。
考え方
条件付き確率 P_A(B) ＝ P(A∩B) ÷ P(A)。標本空間を A に絞って考えるのが本質。
手順
- 条件 B が起こったものだけを「全体」と考える
- P_B(A)＝n(A∩B)/n(B)（または P(A∩B)/P(B)）
- 分母が B の場合の数であることを確認する
例題
問題 ある学校で、男子の 40% が部活に入っていて、男子は全体の 50% である。全員から 1 人選んで男子だったとき、その人が部活に入っている確率は。
- 「男子」という条件のもとなので、男子だけで考える
- 部活に入っている確率は 40%
答え 2/5
間違えやすい点
- 分母を全体の数にしてしまう。
似た型との違い
「原因の確率の型」は、結果から原因を逆にたどる応用。
5. 反復試行の型
使う問題
「同じ試行を n 回くり返して、ちょうど k 回起こる確率」。
考え方
起こる k 回の選び方 nCk に、確率 p^k と (1−p)^(n−k) を掛ける。
手順
- 1 回の確率 p を求める
- n 回中ちょうど k 回：nCk·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
- 「少なくとも」は 1−（1 回も起こらない確率）
例題
問題 1 回に当たる確率が 1/3 のくじを 3 回引く。ちょうど 1 回当たる確率は。
- 3C1 × (1/3) × (2/3)²
- = 3 × 1/3 × 4/9 = 4/9
答え 4/9
間違えやすい点
- nCk（順番の数）をかけ忘れる。
- nCk を掛け忘れる。
似た型との違い
「3 回に分けて掛け算」だけでなく、当たる回の選び方 nCk を忘れない。
6. 「k 回以上」の確率の型 ★入試頻出
使う問題
「少なくとも k 回」「k 回以上」の確率。
考え方
直接数えると場合が多いときは、余事象（k 回未満）を 1 から引く。
手順
- k 回以上＝k 回、k＋1 回、…、n 回の確率の和
- 各回は nCk·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
- 項が多いときは 1−（k 回未満の確率）
例題
問題 1 回の成功確率 1/2 の試行を 4 回行う。少なくとも 1 回成功する確率は。
- 余事象は「1 回も成功しない」
- 1 − (1/2)⁴ = 15/16
答え 15/16
間違えやすい点
- 場合分けの漏れ、余事象に切り替えない。
似た型との違い
「ちょうど k 回」とは違い、不等号を含む条件。
7. 期待値の型
使う問題
「期待値（平均的に得られる値）」。賞金やくじ、ゲームの得点。
考え方
期待値 ＝ （各値 × その確率）の合計。
手順
- 取りうる値とその確率を一覧にする
- 期待値＝Σ（値×確率）
- 確率の合計が 1 になることを確認する
例題
問題 賞金 100 円（確率 1/5）、10 円（確率 4/5）のくじの期待値は。
- 100 × 1/5 + 10 × 4/5
- = 20 + 8 = 28
答え 28 円
間違えやすい点
- 確率でなく本数・個数をかけたまま足す。
似た型との違い
確率の合計は 1 になる。期待値は「平均」の確率版。
8. 最大・最小・打ち切りの期待値の型 ★入試頻出
使う問題
「最大値の期待値」「打ち切りのあるゲームの期待値」。
考え方
まず各値を取る確率を全部出し、その合計が 1 になるか確かめてから、値 × 確率を足す。
手順
- 取りうる値ごとに確率を求める（最大値＝k は「k 以下」−「k−1 以下」）
- 期待値＝Σ k·P(X＝k)
- 得点が倍されるときは最後に倍をかける
例題
問題 2 個のサイコロの大きい方の目の期待値を求めよ。
- 最大が k となる確率は (2k − 1)/36
- 1×1/36 + 2×3/36 + … + 6×11/36 = 161/36
答え 161/36
間違えやすい点
- 最大値＝k の確率を k 以下の確率のままにする。
似た型との違い
期待値の型より、確率を自分で作る手間が大きい。
9. 原因の確率の型 ★入試頻出
使う問題
「結果が分かっているとき、その原因が A である確率」。
考え方
全体の確率 P(結果) を原因ごとに分けて足し、そのうち A によるものの割合を求める。
手順
- 各原因の確率と、結果が起こる確率（原因ごと）を書く
- 結果の確率＝Σ（原因の確率×その原因での結果の確率）
- 求める確率＝（原因 X かつ結果）÷（結果の確率）
例題
問題 袋 A は当たり 1/2、袋 B は当たり 1/4。どちらかを等しい確率で選んで引くと当たった。袋 A だった確率は。
- A で当たる：1/2 × 1/2 = 1/4、B で当たる：1/2 × 1/4 = 1/8
- 全体 3/8、A によるもの 1/4
- (1/4)/(3/8) = 2/3
答え 2/3
間違えやすい点
- 分母を原因の確率 P(X) にしてしまう。
似た型との違い
同じ単元の他の型とは、問題文の入口で見分けます。この型は「「結果が分かっているとき、その原因が A である確率」。」が目印です。目印に当てはまらないときは、上の目次から他の型の「使う問題」を見比べてください。
10. 優勝決定戦の型 ★入試頻出
使う問題
「先に○勝した方が優勝」「最後に残った人が勝ち」というゲーム。
考え方
勝ち方の「最後の 1 回」を決めて、それまでの途中の勝敗の並べ方を数える。
手順
- あと何勝で優勝かを数える
- 勝ち負けの並びを場合分けする（最後は優勝を決める勝ち）
- 各場合の確率の和をとる
例題
問題 A, B が 1 回ごとに 1/2 の確率で勝つ。先に 2 勝した方が優勝するとき、A が優勝する確率は。
- 2−0 で勝つ：1/4
- 2−1 で勝つ：A が最後に勝つ並びは 2 通り、各 1/8 → 2/8
- 1/4 + 1/4 = 1/2
答え 1/2
間違えやすい点
- 最後の 1 試合が勝ちで終わる条件を無視する。
似た型との違い
同じ単元の他の型とは、問題文の入口で見分けます。この型は「「先に○勝した方が優勝」「最後に残った人が勝ち」というゲーム。」が目印です。目印に当てはまらないときは、上の目次から他の型の「使う問題」を見比べてください。
11. 確率の加法定理の型
使う問題
「A または B が起こる確率」「A も B も起こらない確率」。
考え方
重なりがあるときは P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。同時に起こらない（排反）なら単に足す。
手順
- 事象を A, B と置く。同時に起こらない（排反）なら P(A)+P(B)
- 重なりがあるとき P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
- どちらも起こらない確率は 1 − P(A∪B)
例題
問題 1〜20 の番号のカードから 1 枚引く。2 の倍数または 3 の倍数である確率は。
- 2 の倍数 10 枚、3 の倍数 6 枚、6 の倍数 3 枚
- (10 + 6 − 3)/20 = 13/20
答え 13/20
間違えやすい点
- 重なり P(A∩B) を引き忘れる、P(A∩B̄) を P(A)−P(B) としてしまう。
- 重なり（6 の倍数）を引き忘れる。
似た型との違い
排反なときは単純な足し算だが、重なりがあれば引く。
12. 独立試行の確率の型
使う問題
「A と B は互いに無関係」「それぞれ独立に」。複数の人が別々に当てる・当たらない。
考え方
独立な試行は確率を掛け合わせる。「少なくとも 1 人」は余事象（全員はずれ）。
手順
- 独立な試行は、確率を掛け算で組み合わせる
- 「少なくとも 1 つ」は余事象（全部ダメ）を 1 から引く
- 「ちょうど」は、当たる人を決めて、他ははずれる確率を掛け、場合ごとに足す
例題
問題 A が当たる確率 1/2、B が当たる確率 1/3 のとき、少なくとも 1 人が当たる確率は。
- 全員はずれる確率：1/2 × 2/3 = 1/3
- 1 − 1/3 = 2/3
答え 2/3
間違えやすい点
- 「ちょうど 1 人」で、他の人がはずれる確率を掛け忘れる。
似た型との違い
「反復試行」は同じ試行、独立試行は別々の試行。
13. 並び方の確率の型
使う問題
「A と B が隣り合う確率」「円形に座るとき A と B が向かい合う確率」。
考え方
全体の並べ方の数と、条件に合う並べ方の数の比。隣り合うなら「まとめて 1 つ」、円形なら 1 人を固定。
手順
- 全体の並べ方の数を決める（直線は n!、円は (n−1)!）
- 隣り合うならまとめて 1 つ、位置指定なら先に置いて残りを並べる
- 条件に合う並べ方 ÷ 全体 で確率を出す
例題
問題 5 人が 1 列に並ぶとき、A と B が隣り合う確率は。
- 全体 5! = 120
- 隣り合う並べ方 4!×2 = 48
- 48/120 = 2/5
答え 2/5
間違えやすい点
- まとまりの中の並び方（×2）を忘れる、円卓を n! で数える。
- まとまりの中の並び方（×2）を忘れる。
似た型との違い
「隣り合う並べ方の型」で出した場合の数を分子に使う。
14. 3つのサイコロの確率の型
使う問題
「3 個のサイコロ」「目の最大値が k」「3 つとも異なる目」。
考え方
全体は 6³ = 216 通り。「最大が k」は「k 以下」−「k−1 以下」の差で数える。
手順
- 全体は 6<sup>3</sup> = 216 通り（大・中・小を区別する）
- 条件に合う場合を、言いかえ（余事象・最大の差）で数える
- 場合の数 ÷ 216 で確率を出す
例題
問題 3 個のサイコロの目の積が奇数になる確率は。
- 3 つとも奇数のとき積が奇数
- 3³ = 27 通り、全体 216
- 27/216 = 1/8
答え 1/8
間違えやすい点
- 「最大が k」を、k がちょうど 1 個出る場合だけで数える。
似た型との違い
2 個のサイコロの型より、場合の数の言いかえが必要になる。
15. 最大・最小の確率の型 ★入試頻出
使う問題
「取り出したカードの番号の最大値が k」。
考え方
「最大が k」は「k を 1 枚入れ、残りは k 未満」。全体は nCr。
手順
- 全体の取り出し方：nCr
- 「最大が k」は k を 1 枚取り、残りを k 未満から選ぶ
- 場合の数 ÷ 全体で確率を出す
例題
問題 1〜6 のカードから同時に 2 枚取り出すとき、番号の最大が 4 である確率は。
- 全体 6C2 = 15
- 4 を取り、もう 1 枚は 1〜3：3 通り
- 3/15 = 1/5
答え 1/5
間違えやすい点
- 残りを k 以下から選んで、k を重ねて数える。
似た型との違い
同じ単元の他の型とは、問題文の入口で見分けます。この型は「「取り出したカードの番号の最大値が k」。」が目印です。目印に当てはまらないときは、上の目次から他の型の「使う問題」を見比べてください。
この単元を練習する
型を読んだら、実際に手を動かして定着させましょう。アプリでは、それぞれの型の問題が数値を変えて何度でも出題されます。同じ型で3回連続正解すると「定着」になります。